，當且僅當b_i=la_i (1£i£n)時取等號

柯西不等式的幾種變形形式

1.設a_iÎR,b_i>0 (i=1,2,…,n)則，當且僅當b_i=la_i (1£i£n)時取等號

2.設a_i,b_i同號且不為零(i=1,2,…,n)，則，當且僅當b₁=b₂=…=b_n時取等號

例1.已知a₁,a₂,a₃,…,a_n，b₁,b₂,…,b_n為正數，求證：

證明：左邊=

例2.對實數a₁,a₂,…,a_n,求證：

證明：左邊=

例3.在DABC中，設其各邊長為a,b,c,外接圓半徑為R，求證：

證明：左邊³

例4.設a,b,c為正數，且a+b+c=1,求證：

證明：左邊=

　　　　 ³

　　　　 =

　　　　 =

例5.若n是不小于2的正整數，試證：

證明：

所以求證式等價于

由柯西不等式有

于是：

又由柯西不等式有

<

例6.設x₁,x₂,…,x_n都是正數(n³2)且，求證：

證明：不等式左端即　 (1)

∵，取，則　 　(2)

由柯西不等式有　 (3)

及

綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得：

三、排序不等式

設a₁£a₂£…£a_n,b₁£b₂£…£b_n;r₁,r₂,…,r_n是1,2,…,n的任一排列，則有：

a₁b_n+ a₂b_n-1+…+ a_nb₁£a₁b_r1+ a₂b_r2+…+ a_nb_rn£ a₁b₁+ a₂b₂+…+ a_nb_n

反序和£亂序和£同序和

例1.對a,b,cÎR⁺,比較a³+b³+c³與a²b+b²c+c²a的大小

解：取兩組數a,b,c；a²,b²,c²，則有a³+b³+c³³a²b+b²c+c²a

例2.正實數a₁,a₂,…,a_n的任一排列為a₁^/,a₂^/,…a_n^/，則有

證明：取兩組數a₁,a₂,…,a_n；

其反序和為，原不等式的左邊為亂序和，有

例3.已知a,b,cÎR⁺求證：

證明：不妨設a³b³c>0,則>0且a¹²³b¹²³c¹²>0

則

例4.設a₁,a₂,…,a_n是1,2,…,n的一個排列，求證：

證明：設b₁,b₂,…,b_n-1是a₁,a₂,…,a_n-1的一個排列，且b₁<b₂<…<b_n-1；

c₁,c₂,…,c_n-1是a₂,a₃,…,a_n的一個排列,且c₁<c₂<…<c_n-1

則且b₁³1,b₂³2,…,b_n-1³n-1；c₁£2,c₂£3,…,c_n-1£n

利用排序不等式有：

例5.設a,b,cÎR⁺,求證：

證明：不妨設a³b³c,則，a²³b²³c²>0

由排序不等式有：

兩式相加得

又因為：a³³b³³c³>0,

故

兩式相加得

例6.切比雪不等式：若a₁£a₂£…£a_n且b₁£b₂£…£b_n,則

a₁£a₂£…£a_n且b₁³b₂³…³b_n,則

證明：由排序不等式有：

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n= a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n³ a₁b₂+a₂b₃+…+a_nb₁

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n³ a₁b₃+a₂b₄+…+a_nb₂

…………………………………………

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n³ a₁b_n+a₂b₁+…+a_nb_n-1

將以上式子相加得：

n(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)³ a₁(b₁+b₂+…+b_n)+ a₂(b₁+b₂+…+b_n)+…+ a_n(b₁+b₂+…+b_n)

∴