一、平均值不等式

設a₁,a₂,…, a_n是n個正實數，則，當且僅當a₁=a₂=…=a_n時取等號

1.二維平均值不等式的變形

(1)對實數a,b有a²+b²³2ab　　　　　　　　　 (2)對正實數a,b有

(3)對b>0，有，　　 (4)對ab²>0有，

(5)對實數a,b有a(a-b)³b(a-b)　　　　　　　　　　　　　　　 (6)對a>0,有

(7) 對a>0,有　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8)對實數a，b有a²³2ab-b²

(9) 對實數a，b及l¹0，有

二、例題選講

例1.證明柯西不等式

證明：法一、若或命題顯然成立，對¹0且¹0，取

代入(9)得有

兩邊平方得

法二、，即二次式不等式恒成立

則判別式

例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,試證明：

(1)

(2)

證明：(1)左=[]

=

³

(2)由知

同理：

相加得：左³

例3.求證：

證明：法一、取，有

a₁(a₁-b)³b(a₁-b), a₂(a₂-b)³b(a₂-b),…, a_n(a_n-b)³b(a_n-b)

相加得(a₁²+ a₂²+…+ a_n²)-( a₁+ a₂+…+ a_n)b³b[(a₁+ a₂+…+ a_n)-nb]³0

所以

法二、由柯西不等式得： (a₁+ a₂+…+ a_n)²=((a₁×1+ a₂×1+…+ a_n×1)²£(a₁²+ a₂²+…+ a_n²)(1²+1²+…+1²)

=(a₁²+ a₂²+…+ a_n²)n,

所以原不等式成立

例4.已知a₁, a₂,…,a_n是正實數，且a₁+ a₂+…+ a_n<1，證明：

證明：設1-(a₁+ a₂+…+ a_n)=a_n+1>0,

則原不等式即nⁿ⁺¹a₁a₂…a_n+1£(1-a₁)(1-a₂)…(1-a_n)

1-a₁=a₂+a₃+…+a_n+1³n

1-a₂=a₁+a₃+…+a_n+1³n

…………………………………………

1-a_n+1=a₁+a₁+…+a_n³n

相乘得(1-a₁)(1-a₂)…(1-a_n)³nⁿ⁺¹

例5.對于正整數n，求證：

證明：法一、

>

法二、左=

=

例6.已知a₁,a₂,a₃,…,a_n為正數，且，求證：

(1)

(2)

證明：(1)

相乘左邊³=(n²+1)ⁿ

證明(2)

左邊= -n+2(

= -n+2×[(2-a₁)+(2-a₂)+…+(2-a_n)](

³ -n+2×n