1994年全國數學聯合競賽第二試（高中）
來源：數學聯賽 文章作者：數學聯賽 2008-11-04 10:44:12
| 一．(本題滿分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1,z2,m均是復數，且z12-4z2=16+20i , 設這個方程的兩個根α,β滿足|α-β|=2√7 。求|m|的最大值和最小值． 二．(本題滿分25分)將與105互素的所有正整數從小到大排成數列，試求出這個數列的第1000項． 三、(本題滿分35分) 如圖，設三角形的外接圓O的半徑為R，內心為I。∠B=60°,∠A < ∠C,∠A的外角平分線交圓O于E，證明: (1) IO=AE； (2) 2R < IO+IA+IC < (1+√3)R 。 四、 (本題滿分35分) 給定平面上的點集P={P1,P2,…P1994}， P中任三點均不共線，將P中的所有的點任意分成83組，使得每組至少有3個點，且每點恰好屬于一組，然后將在同一組的任兩點用一條線段相連，不在同一組的兩點不連線段，這樣得到一個圖案G，不同的分組方式得到不同的圖案，將圖案G中所含的以P中的點為頂點的三角形個數記為 m(G). (1)求m(G)的最小值 m0 (2)設G*是使 m(G*)=m0 的一個圖案，若G*中的線段(指以P的點為端點的線段)用4種顏色染色，每條線段恰好染一種顏色.證明存在一個染色方案，使G*染色后不含以P的點為頂點的三邊顏色相同的三角形。 |
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