1993年全國數學聯賽第二試（高中）
來源：數學聯賽 文章作者：數學聯賽 2008-11-04 10:44:05
| 一．（35分） 設一凸四邊形ABCD，它的內角中僅有∠D是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形分割成n個鈍角三角形，但除去A、B、C、D外，在該四邊形的周界上，不含分割出的鈍角三角形頂點．試證n應滿足的充分必要條件是n≥4． 二．（35分） 設A是一個有n個元素的集合，A的m個子集A1，A2，…，Am兩兩互不包含． 試證： (1) 其中|Ai|表示Ai所含元素的個數， 三．（35分） 水平直線m通過圓O的中心，直線 l⊥m，l與m相交于M，點M在圓心的右側，直線l上不同的三點A，B，C在圓外，且位于直線m上方，A點離M點最遠，C點離M點最近，AP，BQ，CR為圓O的三條切線，P，Q，R為切點．試證： (1)l與圓O相切時，AB×CR+BC×AP＝AC×BQ； (2)l與圓O相交時，AB×CR+BC×AP＜AC×BQ； (3)l與圓O相離時，AB×CR+BC×AP＞AC×BQ． |
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