證明：如圖，設圓、圓，圓的半徑分別為、、。由條件知O、O₁、S三點共線及O、O₂、T三點共線，且OS＝OT＝，連結OS、OT、SN、NT、O₁M、O₁N、O₂M、O₂N、O₁O₂。

　　充分性：設S、N、T三點共線，則∠S＝∠T,又△O₁SN與△O₂NT均為等腰三角形,

　　∴∠S＝∠O₁NS，∠T＝∠O₂NT, ∴∠S＝∠O₂NT, ∠T＝∠O₁NS，

　　∴O₂N∥OS, O₁N∥OT,故四邊形OO₁NO₂為平行四邊形，由此知OO₁＝O₂N＝＝MO₂,

OO₂＝O₁N＝＝MO₁, ∴△O₁MO≌△O₂OM,從而有，由此得O₁O₂∥OM,又由于O₁O₂⊥MN，故0M⊥MN。

　　必要性：若0M⊥MN，又O₁O₂⊥MN，故O₁O₂∥OM，從而有，

　　設OM＝，由O₁M＝，O₁O＝－，O₂O＝－，O₂M＝，知△O₁MO與△O₂OM 的周長都等于＋，記，由三角形面積的海倫公式，有

，

化簡得（－）（－－）＝0，又已知≠，∴ ＝＋，故有

O₁O＝－＝＝O₂N，O₂O＝－＝＝O₁N，∴OO₁NO₂為平行四邊形，

∴∠O₁NT＋∠T＝180°，∠O₂NS＋∠S＝180°，又△O₁SN與△O₂NT均為等腰三角形，

∠T＝∠O₂NT，∠S＝∠O₁NS，∴∠O₁NO₂＋2∠S＝∠O₂NS＋∠S＝∠O₁NT＋∠T＝∠O₁NO₂＋2∠T，即∠S＝∠T，∴∠O₁NS＝∠O₂NT，故∠O₁NS＋∠O₁NO₂＋∠O₂NT＝∠SNO₂＋∠S＝180°，

∴S、N、T三點共線。

　　2、試問：當且僅當實數滿足什么條件時，存在實數使得…（1）成立，其中為虛數單位，,證明你的結論。 （天津供題）

解：易知（1），

若存在實數使（2）成立，則，

由柯西不等式可得，如果，則由（2）可得

，從而與（3）矛盾。于是得，

反之，若（4）成立，有兩種情況

　　（i），則取，顯然（2）成立。

　　（ii），記，從而不全為0，不妨設，取，

　　，，易知（2）也成立。

　　綜上可知，所求的條件為。

　　3、在100×25的長方形表格中每一格填入一個非負實數，第行第列中填入的數為（如表1），然后將表1每列中的數按由大到小的次序從上到下重新排列為（如表2）。求最小的自然數，使得只要表1中填入的數滿足，則當時，在表2中就能保證成立。 （命題組供題）

　　解：的最小值為97。

　　（1）取

這時，滿足題設條件，重排后有

，

這時，故的最小值。

　　（2）首先證明：表1中必有一行（設為第行）的所有數，必在重排后所得表2的前97行中都出現。

　　事實上，若上述結論不成立，則表1的每一行中至少有一個數不在表2的前97行中出現，即表2的前97行中至多共有表1中100×24＝2400個數，這與表2的前97行共有25×97＝2425個數矛盾。

其次，由重排要求知表之中每列的數從上到下是由大到小排列的，故當時，

故當時，，

　　綜合（1）、（2）知的最小值為97。