（第一試）

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1、對于每個自然數，拋物線與軸交于A_n，B_n兩點，以|A_nB_n|表示該兩點的距離，則|A₁B₁|＋|A₂B₂|＋…＋|A₁₉₉₂B₁₉₉₂|的值是（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

2、已知如圖的曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是（ ）。

（A）；（B）；

（C）；（D）。

3、設四面體四個面的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，它們的最大值為S，記，則一定滿足（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

4、在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為，且，都是方程的根，則△ABC（ ）。

（A）是等腰三角形，但不是直角三角形；（B）是直角三角形，但不是等腰三角形；

（C）是等腰直角三角形；（D）不是等腰三角形，也不是直角三角形。

5、設復數、在復平面上對應的點分別為A、B，且，，O為坐標原點，則△OAB的面積為（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

6、設是定義在實數集R上的函數，且滿足下列關系：，，則是（ ）。

（A）偶函數，又是周期函數；（B）偶函數，但不是周期函數；

（C）奇函數，又是周期函數；（D）奇函數，但不是周期函數。

二、填空題（每小題5分共30分）

1、設是實數，成等比數列，且成等差數列，則的值是 __________。

2、在區間中，三角方程的解的個數是 __________。

3、從正方體的棱和各個面上的對角線中選出條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值是__________。

4、設，都是復數，且，，，則的值是__________。

5、設數列滿足，，且對任何自然數，都有，又，則

的值是 __________。

6、函數的最大值是 __________。

三、（20分）求證：。

四、（20分）設，是兩條異面直線，在上有A、B、C三點，且AB＝BC，過A、B、C分別作的垂線AD、BE、CF，垂足依次是D、E、F，已知AD＝，BE＝，CF＝，求與的距離。

五、（20分）設是自然數，，令。

（1）求證：；

（2）用數學歸納法證明：

（第二試）

一、（35分）設A₁A₂A₃A₄為⊙O的內接四邊形，H₁、H₂、H₃、H₄依次為△A₂A₃A₄，△A₁A₃A₄，△A₁A₂A₄，△A₁A₂A₃的垂心。求證：H₁、H₂、H₃、H₄四點在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置。

二、（35分）設集合，若X是的子集，把X中所有數的和稱為X的“容量”（規定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數，則稱X為的奇（偶）子集。

（1）求證的奇子集與偶子集個數相等。

（2）求證：當時，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。

（3）當時，求的所有奇子集的容量之和。

三、（35分）在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標都是整數的點稱為格點，任取6個格點滿足（1），， ，（2）任何三點不在同一條直線上。試證：在以為頂點的所有三角形中，必有一個三角形，它的面積不大于2。