2003年全國數學聯賽競賽試題（高中）
來源：數學聯賽 文章作者：數學聯賽 2008-11-04 10:41:26
| 一、選擇題（每小題6分,滿分36分） 1．刪去正整數數列1,2,3,……中的所有完全平方數，得到一個新數列．這個新數列的第2003項是 (A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049 2．設a, b∈R, ab≠0，那么，直線 ax-y+b=0和曲線 bx2+ay2=ab 的圖形是 (A) (B) (C) (D) 3．過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60°的直線．若此直線與拋物線交于A,B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于P點，則線段PF的長等于 (A) 16/3 (B) 8/3 (C)16√3/3 (D)8√3 4．若x∈[-5π/12，-π/3則y = tan(x+2π/3)-tan(x+π/6)+cos(x+π/6)的最大值是 (A) (12/5)√2 (B) (6/11)√2 (C) (11/6)/√3 (D) (12/5)√3 5．已知x,y都在區間(-2,2)內，且xy＝-1，則函數u=4/(4-x2)+9/(9-y2)的最小值是 (A) 8/5 (B) 24/11 (C) 12/7 (D) 12/5 6．在四面體ABCD中，設AB=1，CD=√3，直線AB與CD的距離為2，夾角為π/3，則四面體ABCD的體積等于 (A) √3/2 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) √3 二、填空題(每小題9分,滿分54分) 7．不等式|x|3-2x2-4|x|+3＜0的解集是__________. 8．設F1,F2是橢圓x2/9+y2/4的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|:|PF2|=2:1，則△PF1F2的面積等于__________. 9．已知A={x|x2-4x+3＜0,x∈R}, B={x|≤0, x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R}．若A是B的子集, 則實數a的取值范圍是____________. 10．已知a,b,c,d均為正整數，且logab=3/2, logcd=5/4，若a-c=9, 則b-d=________. 11．將八個半徑都為1的球分兩層放置在一個圓柱內，并使得每個球和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側面都相切，則此圓柱的高等于________. 12．設Mn={(十進制)n位純小數0.a1a2…an|ai只取0或1(i=1,2,…,n-1)，an=1}，Tn是Mn中元素的個數，Sn是Mn中所有元素的和，則 三、解答題(每小題20分，滿分60分) 13. 已知3/2≤x≤5,證2√(x+1)+√(2x-3)+√(15-3) < 2√19 14. 設A、B、C分別是復數Z0=ai,Z1=1/2+bi,Z2=1+ci對應的不共線三點。 證：曲線Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t與中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點。 15. 一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內一定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A'剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當A'取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合。 |
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