第十二講整數問題：關于求解問題之六
來源：www.jiajiao100.com 文章作者：dfss 2008-11-04 09:38:48
【題說】 第十二屆（1994年）美國數學邀請賽題3．
【解】 重復使用f（x）＝x2－f（x－1），有
f（94）＝942－f（93）
＝942－932＋f（92）
＝942－932＋922－f（91）
＝…
＝942－932＋922－…＋202－f（19）
＝（94＋93）（94－93）＋（92＋91）（92－
91）＋…＋（22＋21）（22－21）＋202－94
＝（94＋93＋92＋…＋21）＋306
＝4561
因此，f（94）除以1000的余數是561．
A2－030 對實數x，[x]表示x的整數部分，求使[log21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log2n]＝1994成立的正整數n．
【題說】 第十二屆（1994年）美國數學邀請賽題 4．
【解】 [long21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log2128]＋[log2129]＋…＋[log2255]＝2×1＋4×2＋8×3＋16×4＋32×5＋64×6＋128×7＝1538．
A2－031 對給定的一個正整數n．設p（n）表示n的各位上的非零數字乘積（如果n只有一位數字，那么p（n）等于那個數字）．若S＝p（1）＋p（2）＋p（3）＋…＋p（999），則S的最大素因子是多少？
【題說】 第十二屆（1994年）美國數學邀請賽題5．
【解】 將每個小于1000的正整數作為三位數，（若位數小于3，則前面補0，如 25可寫成 025），所有這樣的正整數各位數字乘積的和是
（0?0?0＋0?0?1＋0?0?2＋…＋9?9?8＋9?9?9）－0?0?0
＝（0＋1＋2＋…＋9）3－0
p（n）是n的非零數字的乘積，這個乘積的和可以由上面表達式將0換成1而得到．
因此，
＝463－1＝33?5?7?103
最大的素因子是103．
A2－032 求所有不相同的素數p、q、r和s，使得它們的和仍是素數，并且p2＋qs及p2＋qr都是平方數．
【題說】 第二十屆（1994年）全俄數學奧林匹克九年級題7．
【解】 因為四個奇素數之和是大于2的偶數，所以所求的素數中必有一個為偶數<FONT lang=
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