A4－001  證明：當(dāng)且僅當(dāng)指數(shù)n不能被4整除時，1ⁿ＋2ⁿ＋3ⁿ＋4ⁿ能被5整除．

【題說】1901年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克題1．

【證】容易驗證1⁴≡2⁴≡3⁴≡4⁴ （mod 5）

假設(shè)n=4k＋r，k是整數(shù)，r=0，1，2，3．則

S_n=1ⁿ＋2ⁿ＋3ⁿ＋4ⁿ≡1^r＋2^r＋3^r＋4^r（mod 5）

由此推出，當(dāng)r=0時，S_n≡4，而當(dāng)r=1，2，3時，S_n≡0（mod 5）．因此，當(dāng)且僅當(dāng)n不能被4整除時，S_n能被5整除．

A4－002  證明：從n個給定的自然數(shù)中，總可以挑選出若干個數(shù)（至少一個，也可能是全體），它們的和能被n整除．

【題說】1948年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克題3．

【證】設(shè)a₁，a₂，…，a_n是給定的n個數(shù)．考察和序列：a₁，a₁＋a₂，a₁＋a₂＋a₃，…，a₁＋a₂＋…＋a_n．

如果所有的和數(shù)被n除時余數(shù)都不相同，那么必有一個和數(shù)被n除時余數(shù)為0．此時本題的斷言成立．

如果在n個和數(shù)中，有兩個余數(shù)相同（被n除時），那么從被加項較多的和數(shù)中減去被加項較少的和數(shù)，所得的差能被n整除．此時本題的斷言也成立．

A4－003  1．設(shè)n為正整數(shù)，證明13²ⁿ－1是168的倍數(shù)．

2．問：具有那種性質(zhì)的自然數(shù)n，能使1＋2＋3＋…＋n整除1?2?3…?n．

【題說】1956年上海市賽高三復(fù)賽題1．

【解】1．13²ⁿ－1=（13²）ⁿ－1，能被13²－1，即168整除．

2．問題即

何時為整數(shù)．

（1）若n＋1為奇質(zhì)數(shù)，則

（n＋1） 2（n－1）！

（2）若n＋1=2，則

（n＋1）|2（n－1）！

（3）若n＋1為合數(shù)，則

n＋1=ab

其中a≥b＞1．

在b=2時，a=n＋1－a≤n－1，所以

a|（n－1）！，（n＋1）|2（n－1）！

在b＞2時，2a≤n＋1－a＜n－1，所以

2ab|（n－1）！

更有                                      （n＋1）|2（n－1）！

綜上所述，當(dāng)n≠p－1（p為奇質(zhì)數(shù)）時，1＋2＋…＋n整除1?2…?n．

A4－004  證明：如果三個連續(xù)自然數(shù)的中間一個是自然數(shù)的立方，那么它們的乘積能被504整除．

【題說】 1957年～1958年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克三試題1．

【證】設(shè)三個連續(xù)自然數(shù)的乘積為n=（a³－1）a³（a³<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-f