A5－028  對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，以s（n）表示滿足如下條件的最大正整數(shù)：對(duì)于每個(gè)正整數(shù)k≤s（n），n²都可以表示成k個(gè)正整數(shù)的平方之和．

1．證明：對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n≥4，都有s（n）≤n²－14；

2．試找出一個(gè)正整數(shù)n，使得s（n）=n²－14；

3．證明：存在無(wú)限多個(gè)正整數(shù)n，使得s（n）=n²－14．

【題說(shuō)】第三十三屆（1992年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題6．本題由英國(guó)提供．

【解】用反證法證明如下：

假設(shè)對(duì)某個(gè)n≥4，有s（n）≥n²－14，則存在k=n²－13個(gè)正整數(shù)a₁，a₂，…，a_k，使得

于是就有

從而

3b＋8c=13

這表明c=0或1；但相應(yīng)的b不為整數(shù)，矛盾．

2．每個(gè)大于13的正整數(shù)m可以表為3b＋8c，其中b、c為非負(fù)整數(shù)．事實(shí)上，若m=3s＋1，則s≥5，m=3（s－5）＋2×8．若m=3s＋2，則s≥4，m=3（s－2）＋8．

由

即知n²可表為n²－m個(gè)平方和，從而n²可表為n²－14，n²－15，…，

對(duì)于n=13，有

n²=12²＋5²=12²＋4²＋3²=8²＋8²＋5²＋4²

由于8²可表為4個(gè)4²的和，4²可表為4個(gè)2²的和，2²可表為4個(gè)1²的和，所以13²=8²＋8²＋5²＋4²可表為4，7，10，…，43個(gè)平方的和，又由于5²=4²＋3²，13²可表為5，8，11，…，44個(gè)平方的和．

由于12²可表為4個(gè)6²的和，6²可表為4個(gè)3²的和，所以13²=12²＋4²＋3²可表為3，6，9，…，33個(gè)平方的和．

為18＋2×9=36，18＋2×12=42個(gè)平方的和．再由4²為4個(gè)2²的和，13²也可表為39個(gè)平方的和．

綜上所述，13²可表為1，2，…，44個(gè)平方的和．

3．令n=2^k×13．

因?yàn)?/font>13²可表為1，2，…，155個(gè)平方的和，2²可表為4個(gè)平方的和，所以13²×2²可表為1，2，…，155×4個(gè)平方的和，13²×2⁴可表為1，2，…，155×4²個(gè)平方的和，…，n²=13²×2^2k可表為1，2，…，155×4^k個(gè)平方的和．

s（n）=n²－14

A5－029  每個(gè)正整數(shù)都可以表示成一個(gè)或者多個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和．試對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，求n有多少種不同的方法表示成這樣的和．

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