問題1 兩個整數相加時，得到的數是一個兩位數，且兩個數字相同；相乘時，得到的數是一個三位數，且三個數字相同，請寫出所有滿足上述條件的兩個整數。

分析與解 兩位數中，數字相同的兩位數有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個，它們中的每個數都可以表示成兩個整數相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=……=16+17，共有16種形式，如果把每個數都這樣分解，再相乘，看哪兩個數的乘積是三個數字相同的三位數，顯然太繁瑣了。可以從乘積入手，因為三個數字相同的三位數有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個數都是111的倍數，而111=37×3，因此把這九個數表示成一個兩位數與一個一位數或兩個兩位數相乘時，必有一個因數是37或37的倍數，但只能是37的2倍（想想為什么？）

　　111=37×3 222=37×6=74×3

　　333=37×9 444=37×12=74×6

　　555=37×15 666=37×18=74×9

　　777=37×21 888=37×24=74×12

　　999=37×27

　　把兩個因數相加，只有（74+3=）77和（37+18=）55的兩位數字相同。所以滿足見意的答案是74和3，37和18。

問題2 把26個玻璃球分裝在a、b、c、d、e五個袋子里，每個袋子里的球數不同且都裝了1個以上。用一臺天平稱重量，當稱到裝有11個玻璃球的袋子時，超重警鈴就會響。看下圖。

　　請按從小到大的順序寫出裝入5個袋中玻璃球的數量的組合（例如：1、3、5、7、10），并寫出所有的組合。

分析與解 根據題意，a、b、c、d、e袋中裝的玻璃球的數量各不相同。a、b、c、d、e五個袋子里共裝有26個玻璃球，這26個玻璃球的重量應是相同的，所以五個袋子的重量各不相同。用一臺天平稱重，當稱到裝有11個玻璃球的袋子時，超重警鈴就會響，這一條件，應理解為天平稱得的玻璃球個數是11或多于11個時，超重警鈴就會響。從給出的條件可知：

　　比較（2）、（3）、（4）式可知，a＜b，a＜d。

　　由（1）+（3），（1）+（4），（5）式可得：

　　由上面的三個式子可知，b、d兩袋中球的數量是4或3或2或1個，但由于a＜b，a＜d，所以a袋中球的數量是2或1個，b、d兩袋中的球只能是4或3或2個。進一步由（2）、（3）、（4）式可知，c袋中球的數量只能是8或9個。

　　（1、2、3、9、11）（1、2、4、9、10）

　　（1、3、4、8、10）（2、3、4、8、9）

問題3 把6cm×10cn的長方形沿點線分割成4個圖形，請按下面兩個要求分割。

　　①分割后的4個圖形，面積可大可小，但它們應該互為相似形；

　　②分割后的4個圖形，可以有面積相等的，但不能都是面積相等的圖形。

　　請回答出4種分割方法，并分別在解答欄中用實線畫出（翻轉后如果同另一種分割重疊的話，將看做是同一種分割方法）。

分析與解 先來解釋一下什么是相似形。把一個多邊形的各邊都擴大或縮小相同的倍數后與另一個多邊形的每一對應邊都完全重合，這樣的兩個多邊形就是相似形。例如，所有的等邊三角形都是相似的，所有的正方形都是相似的。

　　把大長方形沿點線分割成4部分，可以將其分成四個長方形。根據長方形長與寬的不同比值，結合題意，枚舉出每一類可能分割出的長方形，看用哪一類中的4個長方形（面積不同的）能拼出6cm×10cm的長方形（為了敘述方便，下面省去單位）。

　　（一）1×n形（即長方形長與寬的比是1：n，n是整數）

　　（l）最小的長方形是1×1，與它相似的長方形有2×2，3×3，4×4，5×5，6×6。

　　可以分割出6×6的長方形（見圖1）。

　　不能分割出5×5的長方形（見圖2），因為不論把5 × 5的長方形放在6 × 10的長方形中的哪一位置，在這個5×5的長方形的上邊（或下邊）的5個小正方形，只能分割成5塊1×1的長方形，這顯然不合題意。

　　分割出的長方形中最大的不可能是4×4或更小的。因為（4 × 4）× 4= 64＞ 6 × 10，（4 × 4） × 3+（3 × 3）×1=57＜ 6 × 10。

　　（2）最小的長方形是1×2，與其相似的長方形有2×4，3 × 6，4 × 8，5 × 10。

　　不能分割出5×10的長方形（分析同（1）中 5×5）。

　　也不能分割出4×8的長方形（見圖3），因為6×10-（4 × 8） ×1=32，（2 × 4）×3= 24＜32。

　　還不能分割出3×6的長方形。不能分出4個3×6的長方形，因為（3 × 6）× 4=72＞ 6 × 10。不能分出3個3×6的長方形，因為6×10-（3×6）×3=6， 1×2=2＜ 6，2 × 4 = 8＞6。不能分出2個3×6的長方形，因為60-（3×6）×2=24，（2×4）×2=16＜24，也不能分出1個 3×6的長方形，因為（3×6）×l+（2×4）×3=42＜60。

　　更不能分割出2×4或回1×2的長方形，因為（2×4） × 4=32＜ 6×10。

　　（3）最小的長方形是1×3，與其相似的長方形有2×6，3×9。

　　可以分割出3×9的長方形（見圖4）。

　　不能分割出2×6的長方形，因為（2×6）×4=48＜ 6×10。

　　（4）最小的長方形是1×4，與其相似的長方形有2×8，這樣的兩個長方形都不能分割出來。因為（2×8）×4=64＞6×10，（2×8）×3+（1×4）×1=52＜6×10。

　　（5）最小的長方形是1×5，與其相似的長方形有2×10，這樣的兩個長方形都不能分割出來。因為（2 ×10）×3=6×10，（2×10）×2+（1×5）×2=50＜ 6×10。

　　（6）同樣可以證明不能分割出 1×6、1×7、1×8、1×9、1×10這些長方形。

　　（二）對于2×n、3×n、4×n、5×n形的長方形，按照（一）的分析方法，可以找到一種符合題意的分割方法（見圖5）。　

　　也可以把6×10的長方形沿點線分割成其他多邊形（見圖6）。