德國有名的數學家希爾伯特（D．Hibert 1862—1943）在老年時曾被人問一個有趣的問題：“假定你去世后一兩年能復活，您會做什么呢？”

希爾伯特回答：“我會先問黎曼猜想是否已經獲得解決了？”原來他在1900年把這問題列為20世紀數學家所面對的一個重要難題，如果他死能復活，當然關心的是這個問題是否解決了。

黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826—1866）是生在現在德國漢諾瓦（Hannover）一個小鄉村（當時那地區屬于大英帝國）的清教徒家庭，他父親是當地的牧師。

5歲時他喜歡歷史，對于古代戰爭有興趣，并且同情波蘭人被外國統治的命運。過不久，他被數學所吸引，他自己也能出一些數學問題給他的姐妹弟弟做（全家6個孩子，他排行第二。）

在學校讀書時，他需要用德文和拉丁文寫作文，可是他下筆很慢，常要涂改。可是他在數學方面卻是出色的，在他去世之后他的中學數學老師薩馬福斯（Schmalfuss）回憶他在16歲時向他借書的故事：“他來向我借數學書看，并且很謙虛的說：‘我希望有一本并不太容易的書。’我指我書架上的書，他選了法國數學家勒讓德（Legendre）的《數論》，我對他說：‘試試看你能懂多少里面的東西。’這是星期五的下午，就在下個星期四他把書帶回來。我問‘你讀了多少？’他回答：‘這本書是寫得非常奇妙，我已全部懂了。’這之后他就沒再看這書，以后在畢業考試時我拿勒灌德那本書里一些問題來考他，他回答得非常好，好像是他專門讀那本書來準備考試那樣子、數論是對他有特別的吸引力。這之后他讀了勒讓德寫的幾何書，并從我的圖書室里的幾何書上選了許多問題來做。在中學時他已顯示出是一個數學家了。他具有強的直觀能力以及抽象推廣的能力。”

在19歲時，他進入哥庭根大學讀哲學和神學，他的父親是希望他以后能成為一個傳教的牧師，可是他卻對數學非常有興趣，不但上了數學方程數值解的課及地磁學，且從1846—1847年上了德國大數學家高斯（Gauss）的最小二乘法及史登恩（Stern）的定積分的課。

1847年他轉學到柏林大學去，在那里有三位著名的教授：賈可比（Jacobi）、狄利克雷（Lejeune Dirichlet）及史泰勒（Steiner），他在兩年中學習理論力學，高等代數，數論，積分論和偏微方程及橢圓方程。

在他回哥庭根準備寫博士論文時，為了減輕父親經濟負擔，他參加由高斯的朋友韋伯（Weber）等主持的數學物理研討會并當韋伯的助手做一些物理實驗及給一些初學物理的人講演。這些事使他花掉了一些時間，影響了他提早提出論文的，到了1851年11月，他呈上了《復變函數論的一般理論的基礎》。高斯對這論文評價極高，說許多年來他就想寫一份像這樣的論文。

黎曼在這時寫信給他父親說：“呈上了這份完整的論文我希望能改善我的前途，我也希望在寫這論文過程能訓練我，使到我以后進入社會可以寫的更流利和迅速。我現在是感到很愉快。”

1854年，黎曼成為哥庭根大學講師，三年后他成為助理教授，在1859年成為正式教授。可惜在1862年他患上肺病，必須常去意大利休養。而他在1866年時就死于意大利，年紀只不過

德國數學家克萊因（Klein）這樣的評價他：“黎曼具有很強的直觀，由這天份他超越了當代的數學家，在他的興趣被激發的領域，他不管是否當局會接受對這研究的肯定，也不讓傳統來誤導他。……他像流星一樣出現然后消失，他活躍的時間只不過15年，1851年他完成論文，1862年他生病，1866年他去世。……黎曼的思想，對現代函數論發展的影響是緩慢和逐漸的，他的工作不會在當代引起突然的革命。這主要是由于黎曼的工作是不容易明白，另外是他提出的想法是非常新且奇特的。……”

黎曼猜想

現在來講他在1858年寫的一篇只長8頁關于素數分布的論文，就在這論文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。這猜想提出已有一百多年了，許多有名的數學家曾嘗試去證明，就像喜歡爬山的人希望能爬上珠穆朗瑪峰一樣——因為它的頂峰非常困難到達，目前已有人登上這世界高峰，可是卻沒有人能證明這猜想！

要說明這猜想首先需談談這問題的來源。幾千年前人類就已知道2，3，5，7，31，59，97這些正整數。除了1及本身之外就沒有其他因子，他們稱這些數為素數（或質數Prime number），希臘數學家歐幾里德證明了在正整數集合里有無窮多的素數，他是用反證法證明、（讀者可以參看拙著：《數學和數學家的故事》第一集里這個證明。）

著名的原籍瑞士的數學家歐拉（Euler 1707—1783），在1737年給了歐幾里得定理的另外一個巧妙的證明。

人們早知道下面的調和級數是不收斂（即和是無窮大）。

在1737年左右歐拉引進了齊打函數（Zeta function）

如果令P表示所有的素數集合，即歐拉發現對于S≥1，我們有

我們看到右邊如果展開，每一項是形如

的形狀，這里p₁，p₂，…，p_r都是素數。

由算術的基本原理，我們知道，任何正整數是能表示成素數方的乘積，而這表示法是只有一種。

如果素數的個數是有限，則當s逐漸趨近于1時，我們見到

由此可知素數的個數不可能是有限的。

在1858年黎曼在他寫的唯一一篇關于數論的文章里把齊打函數的定義域擴大到復數域上，他要研究什么樣的復數s，能使ζ（s）=0，他在文章里給出了下面著名的猜想：“所有的非實數的復數s使得ζ（s）

哈地及黎曼猜測

英國著名的數學家哈地（G．H．Hardy 1877—1947）是華羅庚在英國劍橋大學學習數論時的指導教授。

英國自從出現牛頓以后，一向來數學工作者是注重應用數學，它的數學家不像歐陸的德國和法國在純粹數學上有大的貢獻和新的發現，至到19世紀末出了哈地之后，哈地以他在純數學的工作使英國聞名于世。

哈地先后在牛津和劍橋大學教書，他為了研究數學從來不想到成家，而是由妹妹照顧他。他個性是有些怪，在那宗教勢力濃厚的學府里敢公然說：“上帝是我的敵人。”他從不踏進教堂，也不參予有宗教色彩儀式的會議。

哈地是一個“板球（Cricket）迷”，每年夏天要等到板球季節過了，才會跑到歐陸度假，拜訪他的幾個好朋友與他們一起討論研究數學。

每次到丹麥就會見他的好朋友波爾（Harald Bohr），他們坐下來，先在一張紙上寫上先要解決和討論的一些議程，然后討論一個小時后才一起出去散步。每一次見面時哈地在議程的第一條往往寫上：“證明黎曼假設！”

可是這個提議卻一直沒法子解決，一直到夏假結束他必須回去英國教書才作罷。第二年的夏天他回來丹麥又像前一年那樣，兩人每天把解決黎曼假設擺在議程的最前面，但是每次都不能解決。

有一年的夏末，哈地要乘船渡北海回英國，那天浪濤洶涌天氣很惡劣，而船又很小，因此他在船開之前就寫了一張明信片寄給波爾，在上面簡單的寫下這幾個字：“我已經證明了黎曼假設。哈地。”

他是否真的證明了，要把這個好消息告訴他的好友呢？原來這明信片是有用意的：萬一這船沉下去，哈地溺死了，世人就會認為哈地真的解決這個世界上的數學難題，而為這個解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不會讓哈地享有解決這個著名難題的聲譽，因此本來這船該沉下去，它也設法不讓它沉，于是哈地可以平安回到英國。這樣這個明信片就是他的救命護身符了。

你看了或許會笑，以為我們的哈地教授是這樣幼稚可笑的人物，是的，有一些數學家他們想法和做事的天真幼稚就像6歲的兒童。可是他們研究的東西卻深入和奧妙，不是普通人所能了解的。哈地逝世距現在已四十多年，但是他遺留下來的工作，許多是那么的艱深和難于明白，普通大學數學系畢業生也不是很容易就能領會。

這結果是非常的漂亮。

貧病而逝的英才

中國的古人曾說“人窮而工其文”，我們的黎曼也可以印證這句話的正確性。

在一百多年前的德國大學，只有正式的教授才領政府的津貼，及開正規的課程，由此可以收學生交的學費。黎曼在1854年成為哥庭根大學的講師（Privatdozent），他可以開課，可是學生學數學的不太多，而且他得不到政府的任何津貼，因此他的生活是很貧苦的。他的父親是清貧的小鄉村牧師也不可能對他經濟上有什么幫助，盡管他常因貧窮而生病，可是他仍頑強的在數學上鉆研，不因健康和經濟而動搖對研究的愛好。

1855年他的老師高斯去世了，由狄利克雷繼承高斯的教職。狄利克雷很重視黎曼的工作，極力向政府爭取給予黎曼一些津貼，最后總算得到了等于正式教授的薪水津貼的十分之一。這對黎曼的生活稍有改善。

這段期間黎曼在復變函數論上作出許多重要的發現，1859年對他頗照顧的狄利克雷去世，他的職位由黎曼繼承。這時他的經濟稍微好些，但身體卻因長期營養不良及工作勞累健康是損壞了。

在1862年他和一個朋友的妹妹結婚，第二年生下一個女兒，可是肺病卻蠶食他的生命，在1866年7月20日在意大利Mag-giore湖畔的Selasca去世。在他死之前他還很樂觀勇敢的工作。

現在在大學課程的復變函數論的基本定理，分析學上的黎曼積分！黎曼曲面的概念都是他重要的發現。他本身對物理學也很有興趣，曾寫了一些關于熱、電、磁和流體力學的論文。

他對數學的影響是無可估量的。讀者如果想對他的工作有一點認識可以看1953年Dover Publications出版的《黎曼選集》（The Collected Works of Bernhard Riemann）

近年對黎曼假設的研究

荷蘭三位數學家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設，他們對最初的二億個齊打函數的零點檢驗，證明黎曼的假設是對的，他們在1981年宣布他們的結果，目前他們還繼續用電子計算機檢驗底下的一些零點。

在1982年11月蘇聯數學家馬帝葉雪維奇在蘇聯雜志《Kibernetika》宣布，他利用電腦檢驗一個與黎曼猜想有關的數學問題，可以證明該問題是正確的，從而反過來可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。

1974年美國麻省理工學院的萊文森在他患癌癥去世前證明了這樣的

在190年中國數學家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點改進，他們證明了No（T）＞0.35N（T）。