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1995年全國高中數學聯(lián)合競賽第二試

來源：數學聯(lián)賽 文章作者：數學聯(lián)賽 2008-08-07 14:50:24

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一、(25分) 給定曲線族 2(2sinθ-cosθ+3)x2 - (8sinθ+cosθ+1)y = 0,θ為參數，求該曲線在直線 y=2x 上所截得的弦長的最大值．

二、(25分) 求一切實數p，使得三次方程5x^3-5(p+1)x^2+(71p-1)x+1=66p的三個根均為自然數．

三、(35分) 如圖，菱形ABCD的內切圓O與各邊分別切于E，F，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證: MQ//NP．

四、(35分) 將平面上的每個點都以紅，藍兩色之一著色。證明:存在這樣兩個相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個三角形的三個頂點同色．

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