3×5＋1＝16.

　　對16施行變換得 16÷2＝8.

　　將這種變換繼續下去，有

　　8÷2＝4， 4÷2＝2，

　　2÷2＝1， 1×3＋1＝4，

　　4÷2＝2， 2÷2＝1，

　　……

　　有趣的是，對于數5，按照上面所要求的規則不斷變換下去，最終出現形如

　　4→2→1→4→2→1→……的重復.

　　還可以以6為例按上述指定規則進行變換，得到

　　6→3→10→5→16→8

　　4→2→1→4→2→1→……

　　再如18，

　　18→9→28→14→7→22→

　　11→34→17→52→26→13→

　　40→20→10→5→16→8→

　　我們發現在這種指定變換下，無論開始是哪個自然數，最終總得到形如

　　4→2→1→4→2→1的循環、重復.

　　遺憾的是我們不能僅憑列舉若干自然數，就斷定對任何自然數n都具備這種性質。事實上，到目前為止，還沒有誰能證明這一點。

　　在競賽中我們會遇到一些類似的變換，有時候是對一個數連續進行某種指定變換，有時候是對一組數連續進行某種指定變換。在紛亂多樣的變化中，卻隱藏著某種規律，而我們解決這些問題的關鍵，就在于透過表面現象，從“萬變”中揭示出“不變”的數量關系。

　　例1 對任意兩個不同的自然數，將其中較大的數換成這兩數之差，稱為一次變換。如對18和42可進行這樣的連續變換：

　　18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。

　　直到兩數相同為止。問：對12345和54321進行這樣的連續變換，最后得到的兩個相同的數是幾？為什么？

　　解 如果兩個數的最大公約數是a，那么這兩個數之差與這兩個數中的任何一個數的最大公約數也是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數的最大公約數始終不變，所以最后得到的兩個相同的數就是它們的最大公約數。因為12345和54321的最大約數是3，所以最后得到的兩個相同的數是3。

　　說明 這個變換的過程實際上就是求兩數最大公約數的輾轉相除法。

　　例2 在圖1中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數字同時加1或減1，這算作一次變換。經過若干次變換后，圖1變為圖2。問：圖2中A格中的數字是幾？