在認(rèn)識(shí)三角形的時(shí)候，同學(xué)們都學(xué)過(guò)一個(gè)概念，叫做三角形的中位線(xiàn)，同學(xué)們都會(huì)認(rèn)為這是一非常簡(jiǎn)單的概念，如果我們對(duì)這個(gè)概念加深一點(diǎn)認(rèn)識(shí)，就可以看到它是多么的有用。
所謂三角形的中位線(xiàn)，其實(shí)就是三角形兩條邊中點(diǎn)的連線(xiàn)，如圖1：
圖中線(xiàn)段DE就是三角形ABC的一條中位線(xiàn)。關(guān)于三角形的中位線(xiàn)有幾條重要的結(jié)論：
1．三角形ABC的中位線(xiàn)DE與底邊BC平行，并且它的長(zhǎng)度是底邊長(zhǎng)
下面我們把三角形中位線(xiàn)的概念稍微推廣一
這時(shí)我們可以得到類(lèi)似的結(jié)論：
這幾條結(jié)論的正確性留給同學(xué)們自己思考，下面我們要應(yīng)用這些結(jié)論解決問(wèn)題。
問(wèn)題1 如圖2，在三角形ABC中，D、E是AB邊上的三等分點(diǎn)，
角形ABC的面積是1，求這四個(gè)部分的面積。
連接GF如圖3，根據(jù)前面的結(jié)論可以知道：
再連接DF和EG，得到梯形DEGF，如圖4：
在梯形DEGF中，如果設(shè)三角形DOE的面積為1，則不難分析出三角形EOG和DOF的面積為2，三角形GOF的面積為4。（參見(jiàn)《中小學(xué)數(shù)學(xué)》（小學(xué)版）1999年第10期“已知整體求局部”），所以三角形BEG和三角形ADF的面積為3。
從而三角形DOE的面積為：
四邊形ADOF和EOGB的面積都為：
四邊形CFOG的面積為：
至此四個(gè)部分的面積都求出來(lái)了。
問(wèn)題2 把面積為1的三角形ABC的三邊三等分，使其構(gòu)成如圖5所示的兩個(gè)三角形D1E1F1和D2E2F2。求這兩個(gè)三角形的交點(diǎn)所形成的六邊形O1O2O3O4O5O6的面積。
用與上題同樣的方法，可以得到圖中三角形D1D2O2、E1E2O4和F1F2O6
在梯形D1D2F1F2中，下底長(zhǎng)度是上底長(zhǎng)度的2倍，用本刊1999年第10期“已知整體求局部”一文的方法不難求出三角形
用完全一樣的方法可以求出其他5個(gè)類(lèi)似于三角形D1O2O1的圖形的面
本題的解法貌似復(fù)雜，其實(shí)它的基本思路就是整體減去部分，所用工具就是三角形中位線(xiàn)的若干性質(zhì)。模仿以上問(wèn)題解決的思路，我們還可以解決下面的問(wèn)題。
問(wèn)題 已知一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD的面積為1，將它的四條邊分別三等分，將這些等分點(diǎn)如圖7連接，求中間八邊形O1O2O3O4O5O6O7O8的面積。
首先不難發(fā)現(xiàn)，中間八邊形的外圍出現(xiàn)了如下三種圖形：
第一種：四個(gè)類(lèi)似于AE1O1F4的四邊形；
第二種：八個(gè)類(lèi)似于E1O1O2的三角形；
第三種：四個(gè)類(lèi)似于E1F1O2的三角形。
如果能把這三種圖形的面積分別求出來(lái)，本題也就迎刃而解了。
先把圖形簡(jiǎn)化成如圖8形式：
連接F4E1和E4F1，如圖9：
在三角形AF1E4中，線(xiàn)段F4E1就是底邊E4F1上的中位線(xiàn)，用前邊同樣的
梯形E1F1E4F4的面積是：
三角形E1O1F4的面積是：
現(xiàn)在我們已經(jīng)求出四邊形AE1O1E4的面積為：
求出第二和第三種三角形的面積，我們畫(huà)出如圖10的簡(jiǎn)化圖形：
不難求出這個(gè)梯形的面積為：
由于下底F4E2長(zhǎng)度是上底E1F1長(zhǎng)度的3倍，所以三角形E1F1O2的面積為：
三角形E1O1O2的面積為：
綜合以上結(jié)論我們可以得到本題答案為：
