《思維訓練導引》四年級第01講  計算問題第03講  整數與數列

　　1、如圖1-1所示的表中有55個數，那么它們的和加上多少才等于1994？

　　1   7  13  19  25  31  37  43  49  55  61
　　2   8  14  20  26  32  38  44  50  56  62
　　3   9  15  21  27  33  39  45  51  57  63
　　4  10  16  22  28  34  40  46  52  58  64
　　5  11  17  23  29  35  41  47  53  59  65

　　解答：它們的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5
　　　　=（33×11）×5
　　　　=1815
    [或者：它們的和=（31+32+33+34+35）×11=1815]
           1994-1815=179

　　答：它們的和加上179才等于1994。

　　2、計算：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。

　　解答：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101
　　　　=（1000+999-998-997）+（996+995-994-993）+……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101）
　　　　=4+4+……+4+4
　　　　=［（1000-101）÷1+1］÷4×4
　　　　=900

　　3、計算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。

　　解答：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）
　　　　　=1+（3-2）+（5-4）+……+（1989-1988）
　　　　　=1+1×（1989-1）÷2
　　　　　=1+994
　　　　　=995

　　4、利用公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6，計算：15×15+16×16+……+21×21。

　　解答：15×15+16×16+……+21×21
　　　　　=21×（21+1）×（2×21+1）÷6-14×（14+1）×（2×14+1）÷6
　　　　　=3311-1015
　　　　　=2296

　　5、計算：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。

　　解答：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1
　　　　　=（20+19）×（20-19）+（18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1）
　　　　　=210  

　　6、計算：3333×5555+6×4444×2222。

　　解答：3333×5555+6×4444×2222
　　　　　=3×1111×5×1111+6×1111×4×2×1111
　　　　　=15×1111×1111+48×1111×1111
　　　　　=（15+48）×1111×1111
　　　　　=63×1111×1111
　　　　　=7×9×1111×1111
　　　　　=9999×7777
　　　　　=（10000-1）×7777
　　　　　=77770000-7777
　　　　　=77762223 

　　7、計算：19931993×1993-19931992×1992-19931992。

　　解答：19931993×1993-19931992×1992-19931992
　　　　　=19931993×1993-（19931992×1992+19931992）
　　　　　=19931993×1993-19931992×（1992+1）
　　　　　=19931993×1993-19931992×1993
　　　　　=1993×（19931993-19931992）
　　　　　=1993 

　　8、兩個十位數1111111111與9999999999的乘積中有幾個數字是奇數?

　　解答：1111111111×9999999999
　　　　　=1111111111×（10000000000-1）
　　　　　=11111111110000000000-1111111111
　　　　　=1111111118888888889

　　有10個奇數

　　答：乘積中有10個數字是奇數。 
 
　　9、我們把相差為2的兩個奇數稱為連續奇數。已知自然數1111155555是兩個連續奇數的乘積，那么這兩個奇數的和是多少？

　　解答：1111155555=11111×100005=11111×3×33335=33333×33335，33333+33335=66668

　　答：這兩個奇數的和是66668。  

　　10、求和：l×2+2×3+3×4+……+9×10。

　　解答：l×2+2×3+3×4+……+9×10
　　　=（1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5+……+9×10×11-8×9×10）÷3
　　　=9×10×11÷3
　　　=3×10×11
　　　=330

　　11、計算：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8。

　　解答：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8
　　　　=1！+2×2！+3×3！+4×4！+5×5！6×6！+7×7！+8×8！
　　　　=（2！-1！）+（3！-2！）+（4！-3！）+（5！-4！）+（6！-5！）+（7！-6！）+（8！-7！）+（9！-8！）
　　　　=9！-1！
　　　　=1×2×3×4×5×6×7×8×9-1
　　　　=362879

　　12、在兩個數之間寫上一個?，用所連成的字串表示用前面的數除以后面的數所得的余數，例如： 13?5=3，6?2=0．試計算：（2000?49）?9．

　　解答：2000?49＝40，40?9＝4

　　答：計算結果是4。 

　　13、羊和狼在一起時，狼要吃掉羊。所以關于羊及狼，我們規定一種運算，用△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。以上運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了。小朋友總是希望羊能戰勝狼，所以我們規定另一種運算，用符號☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。這個運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但由于羊能戰勝狼，當狼與羊在一起時，它便被羊趕走而只剩下羊了。對羊和狼，可以用上面規定的運算作混合運算。混合運算的法則是從左到右，括號內先算。
　　羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。

　　解答：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）
　　　　　=羊△羊☆羊△狼
　　　　　=羊☆羊△狼
　　　　　=羊△狼
　　　　　=狼

　　答：運算結果是狼。  

　　14、對于自然數1，2，3，…，100中的每一個數，把它非零數字相乘，得到100個乘積（例如23，積為2×3=6；如果一個數僅有一個非零數字，那么這個數就算作積，例如與100相應的積為1）。問：這100個乘積之和為多少?

　　解答：1，2，……，9，和是45；11，12，……，19，和是1×45；21，22，……，29，和是2×45；……；91，92，……，99，和是9×45；10，20，……，90，和是45；100的為1。

　　總和是（1+1+2+3+……+9+1）×45+1
　　　　＝47×45+1
　　　　=2116

　　答：這100個乘積之和是2116。 

　　15、從1到1989這些自然數中的所有數字之和是多少？

　　解答：把1到1998之間的所有自然數，都表示成四位數字的形式：0001，0002，0003，……，1989，……，1996，1997，1998。從兩頭開始配對組合：（0001+1998），（0002+1997），（0003+1996），……共999對。每對的四位數字之和都是1+9+9+9=28，所以1到1998的數字和是28×999=27972。
多算了1990到1998的數字和，即多算了1×9+9×9+9×9+1+2+3+4+5+6+7+8=207。27972-207=27765

　　答：從1到1989這些自然數中的所有數字之和是27765。