《思維訓練導引》三年級第12講  等差數列

　　1、下面是按規律排列的一串數，問其中的第1995項是多少？

　　解答：2、5、8、11、14、……。 從規律看出：這是一個等差數列，且首項是2，公差是3， 這樣第1995項=2＋3×（1995－1）=5984

　　2、在從1開始的自然數中，第100個不能被3除盡的數是多少？

　　解答：我們發現：1、2、3、4、5、6、7、……中，從1開始每三個數一組，每組前2個不能被3除盡，2個一組，100個就有100÷2=50組，每組3個數，共有50×3=150，那么第100個不能被3除盡的數就是150－1=149.

　　3、把1988表示成28個連續偶數的和，那么其中最大的那個偶數是多少？

　　解答：28個偶數成14組，對稱的2個數是一組，即最小數和最大數是一組，每組和為： 1988÷14=142，最小數與最大數相差28-1=27個公差，即相差2×27=54， 這樣轉化為和差問題，最大數為（142＋54）÷2=98。

　　4、在大于1000的整數中，找出所有被34除后商與余數相等的數，那么這些數的和是多少？

　　解答：因為34×28＋28=35×28=980＜1000，所以只有以下幾個數：
          34×29＋29=35×29
          34×30＋30=35×30
          34×31＋31=35×31
          34×32＋32=35×32
          34×33＋33=35×33
          以上數的和為35×（29＋30＋31＋32＋33）=5425

　　5、盒子里裝著分別寫有1、2、3、……134、135的紅色卡片各一張，從盒中任意摸出若干張卡片，并算出這若干張卡片上各數的和除以17的余數，再把這個余數寫在另一張黃色的卡片上放回盒內，經過若干次這樣的操作后，盒內還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片，已知這兩張紅色的卡片上寫的數分別是19和97，求那張黃色卡片上所寫的數。

　　解答：因為每次若干個數，進行了若干次，所以比較難把握，不妨從整體考慮，之前先退到簡單的情況分析： 假設有2個數20和30，它們的和除以17得到黃卡片數為16，如果分開算分別為3和13，再把3和13求和除以17仍得黃卡片數16，也就是說不管幾個數相加，總和除以17的余數不變，回到題目1＋2＋3＋……＋134＋135=136×135÷2=9180，9180÷17=540， 135個數的和除以17的余數為0，而19+97=116，116÷17=6……14， 所以黃卡片的數是17-14=3。

　　6、下面的各算式是按規律排列的：
1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……， 那么其中第多少個算式的結果是1992？

　　解答：先找出規律： 每個式子由2個數相加，第一個數是1、2、3、4的循環，第二個數是從1開始的連續奇數。 因為1992是偶數，2個加數中第二個一定是奇數，所以第一個必為奇數，所以是1或3， 如果是1：那么第二個數為1992－1=1991，1991是第（1991+1）÷2=996項，而數字1始終是奇數項，兩者不符， 所以這個算式是3+1989=1992，是（1989＋1）÷2=995個算式。

　　7、如圖，數表中的上、下兩行都是等差數列，那么同一列中兩個數的差（大數減小數）最小是多少？

　　解答：從左向右算它們的差分別為：999、992、985、……、12、5。 從右向左算它們的差分別為：1332、1325、1318、……、9、2， 所以最小差為2。

　　8、有19個算式：

那么第19個等式左、右兩邊的結果是多少？

　　解答：因為左、右兩邊是相等，不妨只考慮左邊的情況，解決2個問題： 前18個式子用去了多少個數？ 各式用數分別為5、7、9、……、第18個用了5＋2×17=39個， 5＋7＋9＋……＋39=396，所以第19個式子從397開始計算； 第19個式子有幾個數相加？ 各式左邊用數分別為3、4、5、……、第19個應該是3＋1×18=21個， 所以第19個式子結果是397＋398＋399＋……＋417=8547。

　　9、已知兩列數： 2、5、8、11、……、2＋（200－1）×3； 5、9、13、17、……、5＋（200－1）×4。它們都是200項，問這兩列數中相同的項數共有多少對？

　　解答：易知第一個這樣的數為5，注意在第一個數列中，公差為3，第二個數列中公差為4，也就是說，第二對數減5即是3的倍數又是4的倍數，這樣所求轉換為求以5為首項，公差為12的等差數的項數，5、17、29、……， 由于第一個數列最大為2＋（200－1）×3=599； 第二數列最大為5＋（200－1）×4=801。新數列最大不能超過599，又因為5＋12×49=593，5＋12×50=605， 所以共有50對。

　　10、如圖，有一個邊長為1米的下三角形，在每條邊上從頂點開始，每隔2厘米取一個點，然后以這些點為端點，作平行線將大正三角形分割成許多邊長為2厘米的小正三角形。求⑴邊長為2厘米的小正三角形的個數，⑵所作平行線段的總長度。

　　解答：⑴ 從上數到下，共有100÷2=50行， 第一行1個，第二行3個，第三行5個，……，最后一行99個， 所以共有（1+99）×50÷2=2500個； ⑵所作平行線段有3個方向，而且相同， 水平方向共作了49條， 第一條2厘米，第二條4厘米，第三條6厘米，……， 最后一條98厘米， 所以共長（2+98）×49÷2×3=7350厘米。

　　11、某工廠11月份工作忙，星期日不休息，而且從第一天開始，每天都從總廠陸續派相同人數的工人到分廠工作，直到月底，總廠還剩工人240人。如果月底統計總廠工人的工作量是8070個工作日（一人工作一天為1個工作日），且無人缺勤，那么，這月由總廠派到分廠工作的工人共多少人？

　　解答：11月份有30天。 由題意可知，總廠人數每天在減少，最后為240人，且每天人數構成等差數列，由等差數列的性質可知，第一天和最后一天人數的總和相當于8070÷15=538 也就是說第一天有工人538-240=298人，每天派出（298-240）÷（30-1）=2人， 所以全月共派出2*30=60人。

　　12、小明讀一本英語書，第一次讀時，第一天讀35頁，以后每天都比前一天多讀5頁，結果最后一天只讀了35頁便讀完了；第二次讀時，第一天讀45頁，以后每天都比前一天多讀5頁，結果最后一天只需讀40頁就可以讀完，問這本書有多少頁？

　　解答：第一方案：35、40、45、50、55、……35 第二方案：45、50、55、60、65、……40 二次方案調整如下： 第一方案：40、45、50、55、……35+35（第一天放到最后惶熘腥ィ?/P>第二方案：40、45、50、55、……（最后一天放到第一天） 這樣第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70，共385頁。

　　13、7個小隊共種樹100棵，各小隊種的查數都不相同，其中種樹最多的小隊種了18棵，種樹最少的小隊最少種了多少棵？

　　解答：由已知得，其它6個小隊共種了100-18=82棵， 為了使釕俚男《又值氖髟繳僭膠茫?敲戳?個應該越多越好，有： 17+16+15+14+13=75棵， 所以最少的小隊最少要種82-75=7棵。

　　14、將14個互不相同的自然數，從小到大依次排成一列，已知它們的總和是170，如果去掉最大數和最小數，那么剩下的總和是150，在原來排成的次序中，第二個數是多少？

　　解答：最大與最小數的和為170－150=20，所以最大數最大為20－1=19， 當最大為19時，有19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋1=170， 當最大為18時，有18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋2=158， 所以最大數為19時，有第2個數為7。