1992年小學數學奧林匹克初賽（B）卷第3題是：

的結果是x。那么，與x最接近的整數是____。

　　這道題并不要求求x，而求“與x最接近的整數”，這就是估計或估算。

　　估計與估算是一種十分重要的算法，在生活實踐和數學解題中有廣泛的應用，其表現形式通常有以下兩種：

　　（1）省略尾數取近似值，即觀其“大概”；

　　（2）用放大或縮小的方法來確定某個數或整個算式的取值范圍，即估計范圍。

　　例1 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A的小數點后前3位數字。

　　解：A＞1234÷3122=0.3952…

　　　　A＜1235÷3121＝0.3957…

　　所以0.3952＜A＜0.3957，A的小數點后前3位數是395。

　　說明：上述解法是采用放縮法估計范圍解答的，本題還可采用取近似值的辦法求解。解法如下：

　　將被除數、除數同時舍去13位，各保留4位，則有

　　1234÷3121≈0.3953≈0.395。

得它們的和大于3，至少要選多少個數？

　　解：要使所選的數盡量少，所選用的數就應盡量大，所以應從開頭依次選。首先注意到：

　　從而

　　所以，至少應選11個數。

　　說明：（1）上述解答是采用取近似值的辦法估值的，也可以利用放縮法估值解答。解法如下：

　　所以，至少應選11個數。

　　（2）以上解答過程中包括兩個方面，其一是確定選數的原則；其二是驗算找到“分界聲、”，而這里的驗算只是一種估計或估算，并不要求精確。

　　（3）類似的問題是至少取出多少個數，才能使取出的數的和大于2？

　　答案是7，請讀者自己練習。

　　例3 右面的算式里，每個方框代表一個數字。問：這6個方框中的數字的總和是多少？

　　解：每個方框中的數字只能是0～9，因此任兩個方框中的數字之和最多是18。現在先看看被加數與加數中處于百位的兩個數字之和，這個和不可能小于18，因為不管它們后面的兩個二位數是什么，相加后必小于200，也就是說最多只能進1。這樣便可斷定，處于百位的兩個數字之和是18，而且后面兩位數相加進1。

　　同樣理由，處于十位的兩個數字之和也是18，而且兩個個位數字相加后進1。因此，處于個位的兩個數字之和必是17。

　　所以，6個方框中數字之和為18＋18＋17=53。

　　例4 如果兩個四位數的差等于8921，就說這兩個四位數組成一個數對，那么這樣的數對共有多少個，

　　解：最小的四位數是1000，與1000組成一個數對的另一個四位數是 8921＋1000=9921，也就是最小一個數對是 9921與1000。同時由最大的四位數是9999，可知共有

　　9999-（9921―1）=79（個）

　　不同的被減數。所以，這樣的數對共有79個。

　　說明：解答的關鍵在于確定符合條件的的最小數對（9921，1000），同時因為有幾個不同的被減數，就有幾個不同的減數相對應地存在，所以我們只要考慮有幾個不同的被減數即可。

　　例5 七位數175□62□的未位數字是幾時，不管千位上是0～9中的哪一個數字，這個七位數都不是11的倍數？

　　解：因為1750620÷11＝159147……3，

　　　　　　1759629÷11＝159966……3，

　　所以這個七位數是11的倍數的最小值是1750628，最大值是1759626。

　　又因為1001=7×11×13，由數的整除性質，可知1750628加上若干個1001，或1759626減去若干個1001后，其值也是11的倍數。這樣1750628，1751629，1759626，1758625，1757624，1756623，1755622，1754621，1753620都是11的倍數。

　　由上述討論可知七位數175□62□的末位數字是7時，不管其千位上是0到9中的哪一個數字，這個七位數都不是11的倍數。

　　說明：上述解法是利用估算確定出取值范圍再進行討論。此題也可由能被11整除的數的特征入手解決。留給讀者思考。

　　例6 小明的兩個衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1，2，3，…，13。從這兩個口袋中各拿出1張卡片并計算2張卡片上的數的乘積，可以得到許多不相等的乘積。那么，其中能被6整除的乘積共有多少個？

　　解：根據題意可知，在所得到的許多不相等的乘積中，最小值是 1×1=1，最大值是13×13=169，并且1與169都不能被 6整除，這樣，在得到的許多不相等的積中，能被6整除的最小值是1×6=6，最大值是13×12=26×6，而介于1×6與26×6之間的能被6整除的數并非每個都是2張卡片上的數的積，如25×6，23×6， 21×6，19×6，17×6這五個就不是。

　　所以，這些積中能被6整除的數共有

　　26-5=21（個）。

　　說明：解答這類問題要特別注意：不能簡單地根據最小值是6的1倍，最大值是6的26倍，就錯誤地下結論是26個。

　　。如果取每個數的整數部分（例如1.64的整數部分是1，

　　解：關鍵是判斷從哪個數開始整數部分是2。因為2-1.64=0.36，我們11＋19×2=49。

　　例8 有一列數，第一個數是105，第二個數是85，從第三個數開始，每個數都是它前面兩個數的平均數，那么第19個數的整數部分是幾？

　　總介于這兩個數之間，所以后面各數的整數部分均為91，當然第19個數的整數部分也為91。

　　說明：注意到每個正數都介于兩個相鄰整數n和n＋1之間，或者寫成n≤a＜n＋1，此時n就是a的整數部分。因此確定某個正數的整數部分，實際上就是去估計它介于哪兩個相鄰自然數之間。

　　例9 求下式中S的整數部分：

　　解：根據“一個分數，當分子不變而分母變大時，分數值變小；當分子不變，分母變小時，分數值變大”對S的分母進行放縮。

　　不但非常麻煩，而且容易出錯。為了求得一個數大概是多少，我們采用放縮法，以確定它的范圍，也就是估值。放縮是解答估值問題的一種常用方法。在用這種方法時，一定要注意放縮要適當，要合情合理。

　　一個類似的問題是

　　答案是19。

　　例10 學校組織若干人參加夏令營。先乘車，每個人都要有座位，這樣需要每輛有60個座位的汽車至少4輛。而后乘船，需要定員為70人的船至少3條。到達營地后分組活動，分的組數跟每組的人數恰好相等。這個學校參加夏令營的人有多少？

　　解：由“每輛有60個座位的汽車至少4輛”可知，參加夏令營的人數在（60×3＋1=）181～（60×4=） 240人之間。

　　由“需要定員為70人的船至少3條”可知，參加夏令營人數在（70×2＋1=）141～（70×3=）210人之間。

　　這樣，參加夏令營的人數在181～210人之間。又由“分的組數和每組人數恰好相等”可知，參加夏令營的人數一定是一個平方數。而181～210之間只有196是平方數，所以參加夏令營的人數是196。

　　說明：解答此題的關鍵是估計人數的范圍：

　　從乘車來看，1≤第四輛車人數≤60，

　　從乘船來看，1≤第三條船人數≤70，

　　所以，181≤夏令營的人數≤210。

　　例11 將自然數按如下順序排列：

　　1 2 6 7 15 16 …

　　3 5 8 14 17 …

　　4 9 13 …

　　10 12 …

　　11 …

　　在這樣的排列下，數字3排在第2行第1列，數字13排在第3行第3列。

　　問：數字168排在第幾行第幾列？

　　分析：我們來分析一下給出數陣中每一斜行的規律。這里第2斜行的數字是3，2；第3斜行的數字是4，5，6；余此類推。仔細觀察后我們發現：

　　奇數斜行中的數字由下向上遞增，

　　偶數斜行中的數字由上向下遞增，

　　我們只要找出168位于第幾斜行，再換算成原數陣中的第幾行第幾列，問題便解決了。

　　18斜行最大的數字是171，所以168位于第18斜行。第18斜行中的數字是由上向下遞增，因此，168位于第18斜行由上向下數第（168-153=）15位，換算成原數陣的行和列，便是第15行，第（18-15＋1=）4列。

　　解法2：為方便起見，可將數陣按順時針方向旋轉45°，則原數陣變為

　　1

　　3 2

　　4 5 6

　　10 9 8 7

　　11 12 13 14 15

　　… … … … … … … … … …

　　設168位于上述數陣的第n行，則

　　1＋2＋…＋（n―1）＜168≤1＋2＋…＋n，

　　可見，n應為18，即168位于上述數陣中的第18行。

　　又 168-153=15，18-15＋1=4，由數陣排列次序可知168位于上述數陣的第18行從左數第4個數，從右數第15個數。將上述數陣還原為題中數陣，168在第15行第4列的位置上。

　　例12 唐老鴨與米老鼠進行萬米賽跑，米老鼠每分鐘跑125米，唐老鴨每分鐘跑100米。唐老鴨手中掌握著一種迫使米老鼠倒退的電子遙控器，通過這種遙控器發出第n次指令，米老鼠就以原來速度的n×10％倒退一分鐘，然后再按原來的速度繼續前進。如果唐老鴨想在比賽中獲勝，那么它通過遙控器發出指令的次數至少是多少次？

　　解：唐老鴨跑完1萬米需要100分鐘。設唐老鴨在100分鐘內共發出n次迫使米老鼠倒退的指令，則在100分鐘內米老鼠有n分鐘的時間在倒退，有（100-n）分鐘的時間在前進，依題意有

　125×（100-n）-125×（0.1＋0.1×2＋0.1×3＋…＋0.1×n）＜10000，整理得 n（n＋21）＞400。

　　當　n=12時， n＋21=33，12×33=396＜400。

　　當　n=13時，n＋21=34，12×34=442＞400。

　　所以n至少等于13，即遙控器發出指令的次數至少是13次。